Fe wnaeth cyfrifiad cefn amlen, wedi’i thanio o sgwrs bwrdd cinio yn Windhoek yr wythnos yma, amcangyfrif bod y siawns ohonof i’n marw o ddamwain hewl cyn i mi droi’n can mlwydd oed tua 0.00498. Hynny yw tua un mewn pob 200 o bobl. Yn y blog yma fe wnâi trio gwella cywirdeb y cyfrifiad yma.

Y rheswm oeddwn i wrth y bwrdd cinio oedd i fynychu’r gynhadledd PyCon Namibia 2018 llwyddianus, cefnogwyd hwn yn hael gan Brosiect Phoenix Prifysgol Caerdydd. Wrth y ford roedd yna fathemategwyr, gwyddonwyr ddaear, anaesthetegyddion, rhaglennwr cyfrifiaduron ac athronydd, pan berwyd y cwestiwn canlynol: “Pob blwyddyn mae 1 mewn 20,000 o bobl yn marw mewn damwain hewl ym Mhrydain, beth yw’r tebygolrwydd o farw mewn damwain hewl cyn troi’n can mlwydd oed?”

Gadawer i \(p = 1 / 20000\). Ystyriwch:

  • Ar ôl 1 blwyddyn o fyw, mae yna debygolrwydd \(p\) o farw mewn damwain hewl, a \((1 - p)\) o oroesi i fyw am flwyddyn arall.
  • Ar ôl yr ail flwyddyn o fyw, mae yna siawns \(p + (1 - p)p\) o fod wedi marw mewn damwain hewl (hynny yw siawns \(p\) o flwyddyn 1, ar ôl hwnna rydych yn barod wedi marw, a thebygolrwydd \((1 - p)\) o oroesi nes blwyddyn dau, ac yna tebygolrwydd \(p\) eto o farw unwaith bod yr oroesiad cyntaf wedi digwydd). Felly mae siawns \((1 - p)^2\) o fod wedi goroesi’r holl ffordd i’r trydydd blwyddyn.
  • O’r un rhesymeg mae yna siawns \(p + (1 - p)p + (1 - p)^2p\) o fod wedi marw mewn damwain hewl erbyn diwedd y trydedd flwyddyn.

Gall tynnu delwedd o hwn fel y goeden tebygolrwydd isod.

Ar gyfer 100 cangen, hynny yw 100 blwyddyn o fyw, adiwn holl debygolrwyddau cangen o farw. Rhoddir hyn:

\[P(\text{Marw mewn damwain hewl o fewn 100 blwyddyn}) = \sum_{i=0}^{99} (1 - p)^i p\]

Yn y bôn hwn yw’r dosraniad Binomial. Pan mae \(p = 1 / 20000\):

\[P(\text{Marw mewn damwain hewl o fewn 100 blwyddyn}) \approx 0.00498\]

Rhagdybiaethau

Mae’r cyfrifiad uchod yn tybio cwpl o bethau afrealistig:

  1. Mae’r tebygolrwydd o farw mewn damwain hewl yn unfath ar gyfer pob oedran.
  2. Os nad ydw i’n marw mewn damwain car, ni allaf farw o unrhyw beth arall.

Newidiadau i’r model

Gan wneud newidiadau mân i’r hafaliad uchod, gallwn ddelio a’r rhagdybiaethau afrealistig hyn:

\[P(\text{Marw mewn damwain hewl o fewn 100 blwyddyn}) = \sum_{i=1}^{100} \left(\prod_{k=1}^{i}(1 - m_{k-1})\right) p_i\]

lle \(p_i\) yw’r tebygolrwydd o farw mewn damwain hewl yn \(i^{\text{fed}}\) blwyddyn eich bywyd, a \(m_i\) yw’r tebygolrwydd o farw o unrhyw beth yn \(i^{\text{fed}}\) blwyddyn eich bywyd. O’r diffiniad yma mae \(m_0 = 0\) achos ni allwch farw cyn geni. Dangosir hyn yn y goeden tebygolrwydd sydd wedi’i addasu isod:

Fedrir cael y data marwolaeth yma’n agored, wedi’i splitio gan oedran, o’r ONS. Hefyd fydd data poblogaethau yn ddefnyddiol. Mae’r setiau data a lawrlwythais i ar gyfer 2016, ond maen nhw ar gyfer Cymru a Lloegr yn unig. Mae’r data hefyd yn binio’r oedrannau mewn i grwpiau oedran:

Ar ôl glanhau’r data, fe ges i:

Grŵp Oedran Poblogaeth Pob Marwolaeth Marwolaethau Hewl
< 1 702,448 2711 0
1 - 4 2,899,859 433 18
5 - 14 2,899,859 525 35
15 - 24 7,132,934 2153 324
25 - 34 7,944,899 4364 296
35 - 44 7,448,495 8550 201
45 - 54 8,190,797 21200 257
55 - 64 6,695,865 41577 180
65 - 74 5,765,980 87556 181
75 - 84 3,342,771 148655 185
≥ 85 1,408,727 207314 87


Tebygolrwydd mawr pob grŵp yw’r Boblogaeth wedi’i rhannu gan Bob Marwolaeth, a’r tebygolrwydd marw ar yr hewl yw’r Boblogaeth wedi’i rhannu gan Farwolaethau Hewl. Nawr \(m_i\) yw tebygolrwydd mawr y grŵp oedran mae \(i\) yn perthyn iddo, a \(p_i\) yw’r tebygolrwydd marw ar yr hewl y grŵp oedran mae \(i\) yn perthyn iddo.

Pam oes angen y lefel manyldeb yma? Wel mae’r tebygolrwydd mawr yn sensitif i oedran, mae gan fabanod a’r henoed lot mwy o risg marw na gweddill y boblogaeth. Dangosir hyn yn y siart bar isod:

Tra bod tebygolrwydd marw ar yr hewl, hefyd yn sensitif i oedran, lot fwy uchel ar gyfer pobl yn ei harddegau ac oedolion ifanc:

Nawr yn amnewid y gwerthoedd a chyfrifir ar gyfer yr \(m_i\)’s a’r \(p_i\) i fewn i’r hafaliad, cawn debygolrwydd lot fwy cywir o farw:

\[P(\text{Marw mewn damwain hewl o fewn 100 blwyddyn}) = \sum_{i=1}^{100} \left(\prod_{k=1}^{i}(1 - m_{k-1})\right) p_i \approx 0.00255\]

hynny yw tua 1 ym mhob 400 o bobl.

Yn olaf, edrychwn ar \(P(\text{Marw mewn damwain hewl o fewn } x \text{ blwyddyn})\). Mae’r plot isod yn dangos hwn wrth i \(x\) newid. Gwelwn fod y siawns o farw eithaf isel nes i ni gyrraedd ein harddegau hwyr (pryd rydym yn dechrau gyrru) ac yna’n cynyddu’n gyson pob blwyddyn.