Heddiw dysgais i rywbeth oni’n meddwl oedd yn anhygoel. Cyflwynodd fy nghydweithiwr Dr. Timm Oertel y theorem fach neis yma: y theorem Borsuk-Ulam. Yn fras mae’n dweud: Mae gan bob ffwythiant di-dor ar n-sffêr i n-gofod Ewclidaidd pâr o bwyntiau antipodal gyda’r un gwerth.

Beth yw hwn yn golygu?

Cylchoedd

Ar gyfer ffwythiant di-dor ar gylch, bodoler pâr o bwyntiau cyferbyn ar y cylch gyda’r un gwerth.

Dychmygwch fyd 2D wedi’i orchuddio mewn mynyddoedd di-dor (dim clogwyni fertigol na chwympiau):

Mae’r theorem yma yn dweud wrthym fod yna pâr o bwyntiau union cyferbyn a’i gilydd, gyda’r union un uchder mynydd:

Pam bod hyn yn wir? Wel gallwn ni fflatio’r byd yma fel ffwythiant un dimensiwn \(f(x)\), yn cymharu top y cylch (\(x\) positif) a gwaelod y cylch (\(x\) negatif):

  • Mae pâr o bwyntiau cyferbyn ar y cylch yn negatif y llall, \(y\) a \(-y\).
  • Os oes gan y ddau’r un gwerth neu uchder, yna \(f(y) - f(-y) = 0\).
  • Ystyriwch y ffwythiant \(g(x) = f(x) - f(-x)\).
  • Mae hwn yn ffwythiant od, gan fod \(g(-x) = f(-x) - f(x) = -\left(f(x) - f(-x)\right) = -g(x)\):

Mae gan bob ffwythiant od di-dor sero (mae’r di-dor felly nad oed neidiau, ac rhaid iddo basio o \(-g(x)\) i \(g(x)\)). Felly rhaid bod yna rhyw werth \(y\) fel bod \(g(y) = f(y) - f(-y) = 0\), hynny yw pwyntiau cyferbyn sydd a’r un uchder.

Sfferau

Mewn mwy nag un dimensiwn mae hwn hyd yn oed yn fwy gwallgof! Mae datganiad llawn y theorem yn rhoi fod ar gyfer unrhyw ffwythiant di-dor \(f: S^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) bodoler pwynt \(y\) fel bod \(f(y) = f(-y)\).

Ar sffêr, mae \(f\) yn ffwythiant gyda dau werth. Er enghraifft ystyriwch y Ddaear yn sffêr, ac \(f\) yw ffwythiant sy’n rhoi gwerthoedd y tymheredd a’r lleithder (yn tybio’n rhesymol bod y ddau yn ddi-dor). Bodoler dau bwynt yn union cyferbyn a’r gilydd ar y Ddaear sydd a’r union un tymheredd a lleithder!

Trafodir hyn hefyd yn erthygl Forbes. Bydd ystyried unrhyw ddimensiynau mwy yn brifo’n ymennydd, ond mae’r esiamplau yma yn syfrdanol.