Mae’r rhif \(e\), rhif Euler, 2.7182818284…, yn arbennig. Mae’n arbennig oherwydd fod:

\[\frac{d}{dx} e^x = e^x\]

Ond dyna un o’r unig rhesymmau y mae’n arbennig.

Mae i’w weld i gropian i fyny trwy’r amser, twf poblogaethau, dadfeiliad ymbelydrol, hap-ddigwyddiadau ac adlog di-dor. Mae angen i atgoffa fy hun yn aml nad yw \(e\) fel \(\pi\) neu’r cymhareb euraidd \(\phi\), dyw e ddim just ddigwydd gropian i fyny yn natur. Mae yna oherwydd rydyn ni’n ei roi yna, defnyddiwn \(e\) mewn modelau mathemategol gan ei fod yn hawdd i’w drin.

Ystyriwch model syml o twf poblogaeth:

\[N(t) = N_0 e^{at}\]

Pam yw \(e\) yna? Na fyddant yn gwneud mwy o synwyr i defnyddio rhywbeth del \(2^x\), yn golygu fod y poblogaeth yn dwblu pob uned amser? Neu rhyw bôn arall i gwell adlewyrchu ymddygiad y poblogaeth?

Wel ewn gwirionedd maent yn gyfatebol. Gallwn ysgrifennu unrhyw ffwythiant \(a^x\) fel \(e^{bx}\) ar gyfer rhyw dewis o \(b\):

\[\begin{align} a^x &= e^{bx}\\ \log_a \left(a^x\right) &= \log_a \left(e^{bx}\right)\\ x &= bx \log_a \left(e\right)\\ 1 &= b \log_a \left(e\right)\\ \frac{1}{\log_a \left(e\right)} &= b \end{align}\]

Felly:

\[a^x = e^{\frac{1}{\log_a(e)}x}\]

Trwy cymhwyso \(\log_e\) neu \(\ln\) i’r ddwy ochr cawn fformiwla newid bôn ar gyfer logiau:

\[\log_c(y) = \frac{\log_d(y)}{\log_d(c)}\]