Gwnes i anghytuno gyda fy nhad cu dros y penwythnos. Mae e’n mynnu bod ‘hen arian’ (cyn-degoli) lot symlach na’n system ddegol fodern. A dwi’n ei weld mor ddryslyd! Meddyliais, rhaid bod ffordd o fesur hyn.

Ystyriaf tair system arian fan hyn (fel ffracsiynau o’u darn arian mwyaf):

• ‘Hen arian’, hynny yw punnoedd Prydeinig cyn-degoli gyda’r darnau arian canlynol: ceiniog (1d), tair ceiniog (3d), chwecheiniog (6d), swllt (12d), deuswllt (24d), hanner coron (30d), coron (60d), a sofran (£1 neu 240d);¹
• Euros (neu’r bunt Brydeinig ôl-degoli, gan fod ganddyn nhw’r un gwerthoedd bach) gyda’r darnau arian canlynol: 1c, 2c, 5c, 10c, 20c, 50c, ac €1 neu 100c;
• Doleri Americanaidd gyda’r darnau arian canlynol: senten (1¢), nicel (5¢), dimai (10¢), chwarter (25¢), hanner-doler (50¢), a doler ($1 neu 100¢).

Byddaf yn cymharu’r rhain mewn tri dimensiwn: effeithlonrwydd, argaeledd, a chymhlethdod. Byddai’n defnyddio ‘brute-force’ i werthuso’r rhain, gan ddefnyddio itertools a pandas yn Python er mwyn dadansoddi’r holl gyfuniadau darnau arian yn is na gwerth darn arian mwyaf y cylchrediad.

Effeithlonrwydd

Pos mathemategol cyffredin yw’r broblem creu-newid. Hynny yw, ar gyfer rhyw werth o arian, beth yw’r nifer lleiaf o ddarnau arian sydd angen er mwyd creu’r gwerth hwn. Gallwn ddatrys hyn trwy raglennu llinol neu raglennu dynamig, ond fan hyn defnyddiaf ddull ‘brute-force’. Ar gyfer pob gwerth posib yn is na’u darn arian mwyaf, cawn:

Euros yw’r cylchrediad mwyaf effeithlon o bell ffordd, gydag arian Prydeinig cyn-degoli y lleiaf effeithlon.

Argaeledd

Fan hyn roeddwn eisiau mesur ‘robustness’ cylchrediad i redeg allan o ryw werth darn arian, a dechreuais i ystyried y pos mathemategol enwog problem darnau arian Frobenius (a elwir hefyd y broblem McNugget), pan mae rhai gwerthoedd darn arian wedi ei symud o’r set. Mae hwn yn broblem anodd, er gall cael ei datrys trwy ddefnyddio ‘brute-force’ yn yr achosion hyn.

Symleiddiais i’r broblem trwy ofyn y cwestiwn tebyg o ba ganran o’r holl werthoedd posib allai gwneud allan o \(n\) darn arian? Cawn:

Mae gan euros argaeledd lot fwy uchel na’r ddoler, sydd yn ei thro yn cael argaeledd mwy na’r darnau arian Prydeinig cyn-degoli.

Cymhlethdod

Beth olygodd fy nhad cu gan ‘symlach’? Sai’n siŵr, ond gallwn fesur cymhlethdod trwy ystyried arian fel problem tebygolrwydd: tybiwch fod \(\left\lfloor\frac{x_\text{max}}{x_i}\right\rfloor\) o bob gwerth darn arian \(x\), lle \(x_\text{max}\) yw gwerth y darn arian mwyaf. Mae hwn yn cyfateb i bob gwerth posib gallwn ei chael sydd llai na \(x_\text{max}\). Gadewch i \(N\) a \(V\) bod yn hapnewidynnau yn cynrychioli nifer o ddarnau arian a ddewisir ar hap, a gwerth i’w sicrhau, yn ôl eu trefn. Gadewch i \(\mathbb{P}(N=n, V=v)\) bod y tebygolrwydd o gael gwerth \(v\) pan ddewisir \(n\) darn arian ar hap.

Gallwn fesur entropi Shannon pob dosraniad ymylol:

Gallwn feddwl am hyn fel rhyw fesur fel amrywiant, ond ar gyfer data enwol (enwol fan hyn gan nad ydyn yn poeni am ba mor bell mae’r gwerthoedd/niferoedd o’i gilydd, ond eu bod yn wahanol).

Cawn:

Fan hyn y ddoler Americanaidd yw’r lleiaf cymhleth, wedi’i ddilyn yn agos gan yr Euro. Arian Prydeinig cyn-degoli sydd a’r mwyaf o gymhlethdod o’r tri.

Gallwn hefyd mesur cyd-entropi y dosraniad:

Wedi mesur ar y cyd, yr Euro sy’n dod allan fel y cylchrediad symlaf (jest), gyda \(H(N, V) = 11.44\), yna’r ddoler Americanaidd gyda \(H(N, V) = 11.53\), ac yn olaf arian Prydeinig cyn-degoli gyda \(H(N, V) = 13.40\).

Yn gyfan gwbl, arian Prydeinig cyn-degoli yw’r lleiaf effeithlon, lleiaf ar gael, a mwyaf cymhleth o’r tri chylchrediad a chymharir, yn cyfiawnhau fy nryswch.

Beth am Gringotts?

Dyfeisiodd JK Rowling cylchrediad eithaf od yn parodïo cymhlethdod arian Prydeinig cyn-degol. Felly cymharais i hwn.

• Mae arian dewinion yn cynnwys ‘knuts’, ‘sickles’, a ‘galleons’, gyda 29 ‘knut’ i bob ‘sickle’, ac 17 ‘sickle’ i bob ‘galleon’.

Wrth aymharu â’r tri arall:

Mae hwn yn ddiddorol! Mae arian dewinion angen lot mwy o ddarnau arian (felly mae llai effeithlon), ac mae ganddo argaeledd lot llai na’r tri chylchrediad arall. Serch hynny mae ganddo entropïau ymylol llai (a chyd-entropi gymharol gymedrig, \(H(N, V) = 12.12\)).

Pam mae arian dewinion yn ymddwyn mor wahanol i’r arian eraill? Mae un gwahaniaeth mawr rhwng arian dewinion a’r tri arall a chymharwyd fan hyn: mae pob gwerth darn arian mewn arian dewinion yn lluosymiau o’r lleill. Mae gan y systemau eraill o leiaf un pâr o werthoedd darn arian nad yw’n lluosymiau o’i gilydd: dimai a chwarter (10¢ a 25¢), 20c a 50c, a nifer mewn hen arian Prydeinig, e.e. deuswllt a hanner coron (24d a 30d). Gall hyn fod yn un achos o gymhlethdod mewn darnau arian. Gall hyn hefyd fod yn gliw wrth geisio adnabod gwahaniaethau rhwng cylchrediadau real a ffuglennol.