Mae bron pawb yn gwybod bod y system ethol cyntaf-i’r-felin wedi torri. Yn America mae’n bosib ennill y bleidlais boblogaidd ond colli’r arlywyddiaeth. Gydag ond 45 diwrnod tan etholiad arlywyddol yr UDA, beth yw’r canran lleiaf bosib sydd angen i ddod yn arlywydd?

Etholiadau Cyffredinol yn y DU

Mae’r sefyllfa yn y DU mwy syml, felly ystyriwn etholiadau cyffredinol yn y DU yn gyntaf. Mae’r wlad wedi’i rhannu i 650 etholaeth (constituency) gyda phoblogaethau bron yn hafal. Mae pob etholaeth yn pleidleisio am AS, fel arfer wedi’i gysylltu â phlaid wleidyddol, sy’n ennill sedd yn Nhŷ’r Cyffredin. Mae gan y blaid sy’n ennill dros hanner y seddi fwyafrif ac felly gallant ffurfio llywodraeth fwyafrifol. Ond, nid yw etholaethau yn ethol AS trwy fwyafrif (majority), maent yn ethol gan fwyafrif cymharol (plurality). Does dim angen i ymgeisydd ennill mwyafrif o’r pleidleisiau, maen nhw ond angen mwy o bleidleisiau nag unrhyw ymgeisydd arall.

Mae hwn yn arwain i sefyllfaoedd posib lle gall un blaid ennill y mwyafrif o’r pleidleisiau ond methu ffurfio llywodraeth. Er enghraifft:

Fan hyn mae chwe etholaeth, mae’r blaid felen yn ennill 4 ohonynt, ac felly’n gallu ffurfio llywodraeth. Serch hynny enillodd y blaid borffor 60.2% o’r pleidleisiau.

Felly - beth yw’r canran lleiaf o’r pleidleisiau gall plaid ennill a dal ffurfio llywodraeth fwyafrifol?

Dechreuwn trwy ganfod strategaeth gan ddefnyddio PuLP. Er mwyn gwneud hwn, tybiwn fod wyth etholaeth, mae gan bob etholaeth poblogaethau hafal, mae’r nifer sy’n dewis pleidleisio yn hafal ym mhob etholaeth, ac ond dwy blaid sy’n ymgeisio. Gadewch i \(C\) bod y set o’r etholaethau wedi’u indecsio gan \(i\), gadewch i \(v_i\) bod y canran o bleidleisiau ar gyfer y blaid felen yn etholaeth \(i\), a gadewch i \(s_i\) bod y newidyn deuaidd yn dynodi os enillodd y blaid felen sedd yn etholaeth \(i\). Nawr byddwn yn lleiafsymio’r canran o bleidleisiau y enillodd y blaid felen tra’n sicrhau ei bod dal gallu ffurfio llywodraeth fwyafrifol:

O dan yr amodau:

import pulp
nifer_etholaethau = 8

prob = pulp.LpProblem("EtholiadGwaethaf", pulp.LpMinimize)
pleidleisiau = pulp.LpVariable.dicts("v", range(nifer_etholaethau))
seddi = pulp.LpVariable.dicts("s", range(nifer_etholaethau), cat=pulp.LpBinary)

for etholaeth in range(nifer_etholaethau):
    prob += pleidleisiau[etholaeth] >= 0.0
    prob += pleidleisiau[etholaeth] <= 1.0
    prob += seddi[etholaeth] <= pleidleisiau[etholaeth] + 0.5
if nifer_etholaethau % 2 == 0:
    prob += sum([seddi[s] for s in range(nifer_etholaethau)]) >= (nifer_etholaethau / 2) + 1
else:
    prob += sum([seddi[s] for s in range(nifer_etholaethau)]) >= (nifer_etholaethau / 2)

ffwythiant_amcan = sum([pleidleisiau[v] for v in range(nifer_etholaethau)]) / nifer_etholaethau
prob += ffwythiant_amcan
prob.solve()

Mae hwn yn rhoi’r strategaeth ganlynol:

Felly mae gennym strategaeth - angen ennill ond 50% (ac un bleidlais) mewn ond dros hanner yr etholaethau. Fan hyn mae’r blaid felen yn ffurfio llywodraeth fwyafrifol gydag ond 31.25% y bleidlais - tra bod y blaid borffor methu ffurfio llywodraeth er bod 68.75% y wlad wedi pleidleisio drostynt!

Os defnyddiwn y strategaeth hon ar gyfer \(n\) etholaeth, y canran lleiaf, \(m(n)\), fydd:

Wrth i \(n\) mynd yn fwy ac yn fwy, mae hwn yn tueddu i 25%. Felly, yn y DU gyda 650 etholaeth, mewn system dwy-blaid, gall plaid ennill gydag ond 25.08% y pleidleisiau a dal ffurfio llywodraeth fwyafrifol - tra gall plaid ennill 74.92% o’r pleidleisiau a methu ffurfio llywodraeth!

Mwy o bleidiau?

Beth os oes mwy o bleidiau? Yn defnyddio’r un strategaeth, os oes \(p\) plaid, yna’r canran lleiaf o bleidleision sydd angen er mwyn ennill sedd yw \(\frac{1}{p}\) ac un bleidlais, gyda’r gweddill y pleidleisiau wedi’u rhannu’n hafal rhwng y pleidiau eraill. Ar gyfer \(n\) etholaeth a \(p\) plaid y canran lleiaf o’r pleidleisiau \(m(n, p)\) fydd:

Ar gyfer 650 etholaeth gwelwn effaith ychwanegu mwy o bleidiau:

Os oes 10 plaid, yna mae’n bosib ffurfio llywodraeth fwyafrifol gydag ond 5% o’r pleidleisiau!

Y Coleg Etholiadol

Yn etholiadau arlywyddol yn yr UDA maen nhw’n defnyddio system debyg iawn a elwir y Coleg Etholiadol. Gallwn ystyried hwn fel set o etholaethau gyda phoblogaethau anhafal a phwysau anhafal. Mae gan bob talaith, gan gynnwys Ardal Columbia, nifer penodol o ‘etholwyr’, yn gyfrannol i faint y boblogaeth maent yn cynrychioli. Er enghraifft mae pleidleiswyr yng Nghaliffornia yn etholi 55 etholwr, tra bod Mecsico Newydd yn etholi 5. O fewn pob talaith mae ymgeisydd yn cymryd pob etholwr neu dim ohonynt: yn tybio nad oes ymgeisiwr 3ydd plaid, os yw ymgeisydd yn ennill o leiaf 50% ac un bleidlais yng Nghaliffornia, maen nhw’n ennill pob un o’r 55 etholwr¹. Yr ymgeisydd sy’n ennill hanner yr etholwyr yw’r arlywydd nesaf.

Felly beth yw’r canran lleiaf o bleidleisiau sydd angen er mwyn ennill yr arlywyddiaeth?. Mae ond angen gwneud mân newidiadau i’r cod PuLP uchod er mwyn ystyried y poblogaethau anhafal a’r pwysau anhafal, a gallwn ganfod strategaeth a fydd yn lleiafsymio’r nifer o bleidleisiau sydd angen er mwyn dod yn arlywydd.

# https://www.federalregister.gov/documents/2020/02/14/2020-03000/estimates-of-the-voting-age-population-for-2019
etholwyr = [9, 3, 11, 6, 55, 9, 7, 3, 3, 29, 16, 4, 4, 20, 11, 6, 6, 8, 8, 4, 10, 11, 16, 10, 6, 10, 3, 5, 6, 4, 14, 5, 29, 15, 3, 18, 7, 7, 20, 4, 9, 3, 11, 38, 6, 3, 13, 12, 5, 10, 3]
pleidleisiau_posib = [3814879, 551562, 5638481, 2317649, 30617582, 4499217, 2837847, 770192, 577581, 17247808, 8113542, 1116004, 1338864, 9853946, 5164245, 2428229, 2213064, 3464802, 3561164, 1095370, 4710993, 5539703, 7842924, 4336475, 2277566, 4766843, 840190, 1458334, 2387517, 1104458, 6943612, 1620991, 15425262, 8187369, 581891, 9111081, 3004733, 3351175, 10167376, 854866, 4037531, 667558, 5319123, 21596071, 2274774, 509984, 6674671, 5951832, 1432580, 4555837, 445025]

prob = pulp.LpProblem("EtholiadGwaethaf", pulp.LpMinimize)
pleidleisiau = pulp.LpVariable.dicts("v", range(51))
taleithiau_a_ennillir = pulp.LpVariable.dicts("s", range(51), cat=pulp.LpBinary)

for talaith in range(51):
    prob += pleidleisiau[talaith] >= 0.0
    prob += pleidleisiau[talaith] <= pleidleisiau_posib[talaith]
    prob += taleithiau_a_ennillir[talaith] <= (pleidleisiau[talaith] * (1 / pleidleisiau_posib[talaith])) + 0.5
prob += sum([taleithiau_a_ennillir[s] * etholwyr[s] for s in range(51)]) >= (sum(etholwyr) / 2) + 1

ffwythiant_amcan = sum([pleidleisiau[v] for v in range(51)]) / sum(pleidleisiau_posib)
prob += ffwythiant_amcan
prob.solve()

Mae hwn yn rhoi just 21.68% o bleidleisiau!

Mae hwn yn golygu gall ymgeisydd colli trwy ennill 78.32% o’r pleidleiswyr! I roi hwn mewn persbectif, ond un arlywydd mewn hanes cyfan America, James Monroe yn 1820, sydd wedi ennill etholiad gyda chanran mwy o bleidleisiau!

Sut all rhywun gwneud hwn? Gyda strategaeth debyg i’r DU uchod: enillwch 50% ac un bleidlais ym mhob talaith heblaw am Arizona, Califfornia, Fflorida, Georgia, Massachusetts, New Jersey, Efrog Newydd, Gogledd Carolina, Ohio, Pennsylvania, Tecsas, a Washington, lle nad ydych yn ennill unrhyw bleidleisiau o gwbl, fel yn y map isod (melyn yn ennill a phorffor yn colli).

Ond, yn wahanol i etholiadau cyffredinol yn y DU, mae ymgeiswyr arlywyddol yn ennill popeth neu dim byd. Nid oes gan y 78.32% o’r pleidleiswyr a chollodd llais yn Y Tŷ Gwyn! Nid yw eu pleidleisiau, fel yn y DU, yn cyfrannu rhywfaint tuag at seddi yn y senedd, mae etholiadau cyngresol a seneddol ar gyfer hynny, gyda mecanweithiau cyfri gwahanol.

Nawr mewn gwirionedd nid yw dibynnu ar set leiaf penodol o daleithiau yn ymarferol gan fod gan bob talaith poblogaeth amrywiaethol. Ond os allwn fapio grwpiau lleiafrifol a grwpiau diddordeb arbennig i boblogaethau’r taleithiau, gallwn ganfod strategaeth i ennill etholiad yn hawdd sy’n targedu’r nifer lleiaf o grwpiau homogenaidd, neu sydd angen y swm lleiaf o gyfaddawdau gwleidyddol. Er dydw i ddim yn creu bod unrhyw beth rydw i wedi ysgrifennu yn foesol, mae’n ddiddorol.